Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB∥DC，PD=PA，已知AB=2DC=10，BD=

4

3

AD=8．
（1）設M是PC上的一點，求證：平面MBD⊥平面PAD；
（2）當三角形PAD為正三角形時，點M在線段PC（不含線段端點）上的什么位置時，二面角P-AD-M的大小為

π

3

．

Answer 1

考點：用空間向量求平面間的夾角,平面與平面垂直的判定

專題：圓錐曲線的定義、性質與方程,空間角

分析：（1）通過證明BD⊥平面PAD，利用直線與平面垂直的判定定理證明平面MBD⊥平面PAD．
（2）以OA、OE、OP為x，y，z軸，建空間直角坐標系，求出點O，A，D，B，P，C的坐標，設

PM

PC

=λ（0＜λ＜1），平面PAD的法向量可取：

n1

=(0，8，0)，求出平面MAD的法向量為

n2

=(x，y，z)，利用空間向量的數量積，結合二面角P-AD-M的大小為

π

3

．求出λ=

9

13

．

解答： （本小題滿分12分）
解：（1）證明：因為BD=

4

3

AD=8，得BD=8，AD=6，又AB=6，
所以有AD²+BD²=AB²，
即AD⊥BD，又因為平面PAD⊥平面ABCD，且交線為AD，所以PD⊥平面PAD，
BD?平面BDM，故平面MBD⊥平面PAD．
（2）由條件可知，三角形PAD為正三角形，所以取AD的中點O，連PO，則PO垂直于AD，
由于平面PAD⊥平面ABCD，所以PO垂直于平面ABCD，過O點作BD的平行線，交AB于點E，則有OE⊥AD，
所以分別以OA、OE、OP為x，y，z軸，建空間直角坐標系
所以點O（0，0，0），A（3，0，0），D（-3，0，0），B（-3，8，0），P（0，0，3

3

），
由于AB∥DC且AB=2DC，得到C（-6，4，0），
設

PM

PC

=λ（0＜λ＜1），則有M(-6λ，4λ，3

3

(1-λ))，因為由（1）的證明可知BD⊥平面PAD，所以平面PAD的法向量可取：

n1

=(0，8，0)，設平面MAD的法向量為

n2

=(x，y，z)，則有

n2 • AD =0 n2 • DM =0

⇒

(x，y，z)(-6，0，0)=0 (x，y，z)(-6λ+3，4λ，3 3 (1-λ))=0

⇒x=0，令y=3

3

，則有z=

4λ

λ-1

，即有

n2

=(0，3

3

，

4λ

λ-1

)
由由二面角P-AD-M的大小為

π

3

．

1

2

=

n1 • n2

| n1 || n2 |

=

24 3

8× 27+( 4λ λ-1 )2

，解得λ=

9

13

故當M滿足：PM=

9

13

PC時符合條件．

點評：本題考查二面角的求法與應用，平面與平面垂直的判定定理的應用，考查空間想象能力以及計算能力．