Question

如圖，在四邊形ABCD中，AC⊥BD，垂足為O，PO⊥平面ABCD，AO=BO=DO=1，CO=PO=2，E是線段PA上的點，AE：AP=1：3．
（1）求證：OE∥平面PBC；
（2）求二面角D-PB-C的大小．

Answer 1

分析：對于（1），要證明OE∥平面PBC，只需證明OE與平面PBC內的一條直線平行即可，而AO=BO=DO=1，CO=PO=2，
AE：AP=1：3，可以確定O是AC的三等分點，從而可以證明OE∥PC，從而得證；
對于（2），由AC⊥BD，垂足為O，PO⊥平面ABCD，可以得到OA、OB、OC三條線兩兩垂直，且二面角D-PB-C的平面角為銳角，
因而可以建立空間直角坐標系，將求二面角問題轉化為求平面PBC與平面PBD的法向量的夾角．

解答：證明：（1）由題意AE：AP=1：3，
又AO=1，AC=3，
∴AO：AC=1：3，
三角形PAC中，有OE∥PC，
又OE?平面PBC，PC?平面PBC，
由線面平行的判定定理得：OE∥平面PBC；

（2）解：如圖，建立空間直角坐標系O-xyz，由已知可得個點坐標：B（1，0，0），C（0，2，0），
P（0，0，2），D（-1，0，0）∴

PB

=（1，0，-2），

PC

=（0，，2，-2），
設平面PBC的一個法向量為：

n

=（x，y，z），則

n • PB =0 n • PC =0

解得：

x-2z=0 2y-2z=0

，
取x=2，y=1，z=1，得：

n

=（2，1，1）；
取平面PBD的一個法向量為

m

═（0，1，0），則cos＜

m

，

n

＞=

m• n

|m| |n|

=

1

6

=

6

6

，
又因為二面角D-PB-C的平面角為銳角，所以二面角D-PB-C的大小為arcos

6

6

．

點評：本題考查線面平行的判定和二面角的求法，注意其中轉化思想的應用，將線面平行轉化為線線平行，將二面角轉化為向量的夾角去求．