Question

如圖，在四邊形ABCD中，AC平分∠DAB，∠ABC=60°，AC=6，AD=5，S_△ADC=

15

2

，求AB的長．

Answer 1

分析：利用三角形的面積公式表示出三角形ADC的面積，把AC，AD的值代入，求出sin∠DAC的值，由∠DAC為三角形的內角，利用特殊角的三角函數值求出∠DAC的度數，根據AC為角平分線，得到∠DAC=∠BAC，可得出∠BAC的度數，由∠ABC的度數，利用三角形的內角和定理求出∠ACB的度數，由AC，sin∠ABC，以及sin∠ACB的值，利用正弦定理即可求出AB的長．

解答：解：在△ADC中，已知AC=6，AD=5，S_△ADC=

15

2

，
則由S_△ADC=

1

2

•AC•AD•sin∠DAC，
∴sin∠DAC=

1

2

，又∠DAC為三角形的內角，
∴∠DAC=30°或150°，
若∠DAC=150°，又AC為∠DAB的平分線，
得∠BAC=∠DAC=150°，又∠ABC=60°，
∴∠BAC+∠ABC=210°，矛盾，
∴∠DAC=150°不合題意，舍去，
∴∠BAC=∠DAC=30°，又∠ABC=60°，
∴∠ACB=90°，又AC=6，
∴由正弦定理

AB

sin∠ACB

=

AC

sin∠ABC

得：AB=

12× 1 2

3 2

=4

3

．

點評：此題考查了正弦定理，三角形的面積公式，角平分線的性質，三角形的內角和定理，以及特殊角的三角函數值，熟練掌握定理及公式是解本題的關鍵．