Question

【題目】如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥底面ABCD，E是PC的中點，已知AB=2，AD=2 ，PA=2，求：

（1）三角形PCD的面積；
（2）異面直線BC與AE所成的角的大小．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵PA⊥底面ABCD，CD底面ABCD，

∴CD⊥PA．

∵矩形ABCD中，CD⊥AD，而PA、AD是平面PAD的交線．

∴CD⊥平面PDA，

∵PD平面PDA，∴CD⊥PD，三角形PCD是以D為直角頂點的直角三角形．

∵Rt△PAD中，AD=2 ，PA=2，

∴PD= =2 ．

∴三角形PCD的面積S= ×PD×DC=2 ．

（2）解：[解法一]

如圖所示，建立空間直角坐標系，可得B（2，0，0），C（2，2 ，0），E（1， ，1）．

∴ =（1， ，1）， =（0，2 ，0），

設 與 夾角為θ，則cosθ= = = ，

∴θ= ，由此可得異面直線BC與AE所成的角的大小為 ．

[解法二]

取PB的中點F，連接AF、EF、AC，

∵△PBC中，E、F分別是PC、PB的中點，

∴EF∥BC，∠AEF或其補角就是異面直線BC與AE所成的角．

∵Rt△PAC中，PC= =4．

∴AE= PC=2，

∵在△AEF中，EF= BC= ，AF= PB=

∴AF2+EF2=AE2，△AEF是以F為直角頂點的等腰直角三角形，

∴∠AEF= ，可得異面直線BC與AE所成的角的大小為 ．

【解析】（1）可以利用線面垂直的判定與性質(zhì)，證明出三角形PCD是以D為直角頂點的直角三角形，然后在Rt△PAD中，利用勾股定理得到PD=2 ，最后得到三角形PCD的面積S；（2）[解法一]建立如圖空間直角坐標系，可得B、C、E各點的坐標，從而 =（1， ，1）， =（0，2 ，0），利用空間向量數(shù)量積的公式，得到 與 夾角θ滿足：cosθ= ，由此可得異面直線BC與AE所成的角的大小為 ；[解法二]取PB的中點F，連接AF、EF，△PBC中，利用中位線定理，得到EF∥BC，從而∠AEF或其補角就是異面直線BC與AE所成的角，然后可以通過計算證明出：△AEF是以F為直角頂點的等腰直角三角形，所以∠AEF= ，可得異面直線BC與AE所成的角的大小為 ．
【考點精析】本題主要考查了異面直線及其所成的角和直線與平面垂直的性質(zhì)的相關(guān)知識點，需要掌握異面直線所成角的求法：1、平移法：在異面直線中的一條直線中選擇一特殊點，作另一條的平行線；2、補形法：把空間圖形補成熟悉的或完整的幾何體，如正方體、平行六面體、長方體等，其目的在于容易發(fā)現(xiàn)兩條異面直線間的關(guān)系；垂直于同一個平面的兩條直線平行才能正確解答此題．