Question

如圖，直三棱柱的一個底面ABC內接于圓O，AB是圓O的直徑．
（1）求證：平面ACD⊥平面ADE；
（2）若AB=2，BC=1，tan∠EAB=

3

2

，求幾何體EDABC的體積V．

Answer 1

分析：（1）由已知中直三棱柱的一個底面ABC內接于圓O，AB是圓O的直徑，我們易得到DC⊥BC．BC⊥AC．由線面垂直的判定定理，可得到BC⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，再由面面垂直的判定定理，即可得到平面ACD⊥平面ADE．
（2）由圖可知，幾何體EDABC即為四棱錐A-DCBE．AC即為棱錐的高，分別求出棱錐的高及底面積，代入棱錐體積公式，即可得到答案．

解答：解：（1）證明：由直棱柱性質知：DC⊥平面ABC，
又BC?平面ABC，∴DC⊥BC．（2分）
∵AB是圓O的直徑，∴BC⊥AC．
又DC∩AC=C，∴BC⊥平面ACD．（4分）
又DE∥BC，∴DE⊥平面ACD，（6分）
又∵DE?平面ADE，
∴平面ACD⊥平面ADE，（8分）
（2）由圖可知，幾何體EDABC即為四棱錐A-DCBE．
由（1）可得AC⊥DC，又AC⊥BC，DC∩BC=C，∴AC⊥面CBED，（10分）
∵AB=2，BC=1，tan∠EAB=

EB

AB

=

3

2

，∴AC=

AB2-BC2

=

3

，BE=

3

，
又矩形CBDE的面積S=BC×BE=

3

，（12分）
∴V四棱錐A-DCBE=

1

3

•S•AC=

1

3

•

3

•

3

=1
因此，幾何體EDABC的體積為1．（14分）

點評：本題考查的知識點是平面與平面垂直的判定及棱錐的體積公式，熟練掌握空間幾何體的幾何特征，根據已知判斷出證明及解答需要的線面關系是解答本題的關鍵．