Question

【題目】在平面直角坐標系中，A、B分別為橢圓的上、下頂點，若動直線l過點，且與橢圓相交于C、D兩個不同點（直線l與y軸不重合，且C、D兩點在y軸右側，C在D的上方），直線AD與BC相交于點Q．

（1）設的兩焦點為、，求的值;

（2）若，且，求點Q的橫坐標；

（3）是否存在這樣的點P，使得點Q的縱坐標恒為？若存在，求出點P的坐標，若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）（2）；（3）

【解析】

（1）由橢圓方程易知∠OAF2＝45°，結合對稱性可得∠F1AF2＝90°；
（2）設C（x1，y1），D（x2，y2），根據已知條件可求得直線BC的方程為y＝2x﹣1，直線AD的方程為y＝﹣x+1，聯立兩直線方程即可得到點Q的橫坐標；
（3）設直線l的方程為y＝kx+b（k＜0，b＞1），與橢圓方程聯立，可得，直線BC的方程為，直線AD的方程為，進而得到點Q的縱坐標，由此建立方程化簡即可得出結論.

解：（1）由橢圓Γ的方程知，F1（﹣1，0），F2（1，0），A（0，1），

則∠OAF2＝45°，

∴∠F1AF2＝90°；

（2）若b＝3，設C、D的兩點坐標為C（x1，y1），D（x2，y2），

∵，

∴，即，

而C（x1，y1），D（x2，y2）均在上，

代入得，解得，

∴，分別代入Γ解得，，

∴直線BC的方程為y＝2x﹣1，直線AD的方程為y＝﹣x+1，

聯立，解得，

∴Q點的橫坐標為；

（3）假設存在這樣的點P，設直線l的方程為y＝kx+b（k＜0，b＞1），

點C，D的坐標為C（x1，y1），D（x2，y2），

聯立，得（2k2+1）x2+4kbx+2b2﹣2＝0，

由△＝16k2b2﹣8（2k2+1）（b2﹣1）＞0，得，

由，可得，

直線BC的方程為，直線AD的方程為，

而x1y2＝kx1x2+bx1，x2y1＝kx1x2+bx2，聯立，

得

＝，

則b＝3＞1，因此，存在點P（0，3），使得點Q的縱坐標恒為.