Question

【題目】已知f（x）=x2+bx+c（b，c∈R，b＜0）．
（1）若f（x）的定義域為[0，1]時，值域也是[0，1]，求b，c的值；
（2）若b=﹣2時，若函數g（x）= 對任意x∈[3，5]，g（x）＞c恒成立，試求實數c的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：二次函數f（x）=x2+bx+c的對稱軸是x=﹣ ，開口向上

①當0＜﹣ ≤ ，即﹣1≤b＜0

解得b=﹣4，c=4，不合題意；

②當 ，即﹣2＜b＜﹣1；

解得b=﹣2，c=1，不符合，舍去．

③當﹣ ，即b≤2 解得b=﹣2，c=1，符合．

∴b=﹣2，c=1

（2）解：若b=﹣2時，若函數g（x）= 對任意x∈[3，5]，g（x）＞c恒成立，

即 對x∈[3，5]恒成立，

即x2﹣（2+c）x+c＞0對x∈[3，5]恒成立．

即c＜ 對x∈[3，5]恒成立，c＜（x﹣1）﹣

令h（x）=（x﹣1）﹣ ，h（x）在x∈[3，5]為單調遞增函數

∴h（x）min=h（3）= ∴c＜

【解析】（1）討論對稱軸x=﹣ 在區間[0，1]的位置關系，列出等式，解出a，b；（2）若b=﹣2時，若函數g（x）= 對任意x∈[3，5]，g（x）＞c恒成立，即可轉化為：即c＜ 對x∈[3，5]恒成立．
【考點精析】本題主要考查了二次函數的性質的相關知識點，需要掌握當時，拋物線開口向上，函數在上遞減，在上遞增；當時，拋物線開口向下，函數在上遞增，在上遞減才能正確解答此題．