Question

【題目】已知兩個無窮數列和的前項和分別為、，，，對任意的，都有.

（1）求數列的通項公式；

（2）若為等差數列，對任意的，都有，證明：；

（3）若為等比數列，，，求滿足（）的的值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）證明見解析；（3）1或2.

【解析】

（1）運用數列的遞推式和等差數列的定義和通項公式，即可得到所求；

（2）設數列{bn}的公差為d，求出Sn，Tn．由恒成立思想可得b1＜1，求出an﹣bn，判斷符號即可得證；

（3）運用等差數列和等比數列的求和公式，求得Sn，Tn，化簡，推出小于3，結合等差數列的通項公式和數列的單調性，即可得到所求值．

（1）由3Sn+1＝2Sn+Sn+2+an，得2（Sn+1﹣Sn）＝Sn+2﹣Sn+1+an，

即2an+1＝an+2+an，所以an+2﹣an+1＝an+1﹣an．

由a1＝1，S2＝4，可知a2＝3．

所以數列{an}是以1為首項，2為公差的等差數列．

故{an}的通項公式為an＝1+2（n﹣1）＝2n﹣1，n∈N*．

（2）設數列{bn}的公差為d，

則Tn＝nb1n（n﹣1）d，

由（1）知，Snn（1+2n﹣1）＝n2．

因為Sn＞Tn，所以n2＞nb1n（n﹣1）d，

即（2﹣d）n+d﹣2b1＞0恒成立，

所以，即，

又由S1＞T1，得b1＜1，

所以an﹣bn＝2n﹣1﹣b1﹣（n﹣1）d＝（2﹣d）n+d﹣1﹣b1≥2﹣d+d﹣1﹣b1＝1﹣b1＞0．

所以an＞bn，得證．

（3）由（1）知，Sn＝n2．因為{bn}為等比數列，

且b1＝1，b2＝3，

所以{bn}是以1為首項，3為公比的等比數列．

所以bn＝3n﹣1，Tn（3n﹣1）．

則3，

因為n∈N*，所以6n2﹣2n+2＞0，所以3．

而ak＝2k﹣1，所以1，即3n﹣1﹣n2+n﹣1＝0（*）．

當n＝1，2時，（*）式成立；

當n≥2時，設f（n）＝3n﹣1﹣n2+n﹣1，

則f（n+1）﹣f（n）＝3n﹣（n+1）2+n﹣（3n﹣1﹣n2+n﹣1）＝2（3n﹣1﹣n）＞0，

所以0＝f（2）＜f（3）＜…＜f（n）＜…，

故滿足條件的n的值為1和2．