Question

下列四個命題中，真命題的序號是

③④

．（寫出所有真命題的序號）
①若a，b，c∈R，則“a＞b”是“ac²＞bc²”成立的充分不必要條件；
②當x∈（0，

π

4

）時，函數y=sinx+

1

sinx

  的最小值為2；
③命題“若|x|≥2，則x≥2或x≤-2”的否命題是“若|x|＜2，則-2＜x＜2”；
④函數f（x）=lnx+x-

3

2

在區間（1，2）上有且僅有一個零點．

Answer 1

分析：①、若c=0，則不論a，b的大小關系如何，都有ac²=bc²；
②、由基本不等式的使用原則：一正二定三相等，得到函數y=sin x+

1

sinx

 只有在sinx=1時，才取最小值；
③、命題“若p，則q”的否命題是“若￢p，則￢q”；
④、由于f（1）f（2）=（ln1+1-

3

2

）（ln 2+2-

3

2

）＜0，再由函數在區間（1，2）上單調，即可判定正誤．

解答：解：①、由于c=0，則不論a，b的大小關系如何，都有ac²=bc²，
而若ac²＞bc²，則有a＞b，
故“a＞b”是“ac²＞bc²”成立的必要不充分條件，
故①為假命題；
②、當x∈（0，

π

4

）時，由于y=sin x+

1

sinx

≥2 當且僅當sinx=

1

sinx

即sinx=±1時，等號成立，
而x∈（0，

π

4

），則當x∈（0，

π

4

）時，函數y=sin x+

1

sinx

 取不到最小值為2，故②為假命題；
③、命題“若p，則q”的否命題是“若￢p，則￢q”，
則命題“若|x|≥2，則x≥2或x≤-2”的否命題是“若|x|＜2，則-2＜x＜2”，故③為真命題；
④、由于f（1）f（2）=（ln1+1-

3

2

）（ln 2+2-

3

2

）=-

1

2

×(ln2+

1

2

)＜0，
則函數f（x）=ln x+x-

3

2

在區間（1，2）上存在零點，
又由函數f（x）=ln x+x-

3

2

在區間（1，2）上為增函數，
所以函數f（x）=ln x+x-

3

2

在區間（1，2）上有且僅有一個零點，故④為真命題．
故答案為：③④．

點評：本題考查的知識點是，判斷命題真假，同時考查了不等式的性質及函數零點存在定理，我們要對四個結論逐一進行判斷，可以得到正確的結論．