Question

已知橢圓的一條準線方程是其左、右頂點分別是A、B；雙曲線的一條漸近線方程為3x－5y=0.

（Ⅰ）求橢圓C₁的方程及雙曲線C₂的離心率；

（Ⅱ）在第一象限內取雙曲線C₂上一點P，連結AP交橢圓C₁于點M，連結PB并延長交橢圓C₁于點N，若. 求證：

Answer 1

（I）雙曲線的離心率

（Ⅱ）證明見解析

解析:

（I）由已知

∴橢圓的方程為，雙曲線的方程.

又  ∴雙曲線的離心率

（Ⅱ）由（Ⅰ）A（－5，0），B（5，0）  設M得M為AP的中點

∴P點坐標為   將M、p坐標代入c₁、c₂方程得

消去y₀得   解之得

由此可得P（10，

當P為（10， 時   PB：  即

代入

   MN⊥x軸     即