Question

已知橢圓的一條準線方程是，其左、右頂點分別是A、B；雙曲線的一條漸近線方程為3x-5y=0．
（1）求橢圓C₁的方程及雙曲線C₂的離心率；
（2）在第一象限內取雙曲線C₂上一點P，連接AP交橢圓C₁于點M，連接PB并延長交橢圓C₁于點N，若．求的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）由已知，由此能夠求出橢圓C₁的方程及雙曲線C₂的離心率．
（2）由A（-5，0），B（5，0），設M，得M為AP的中點，P點坐標為（2x+5，2y），將M、P坐標代入C₁、C₂方程得，解之得P（10，，直線PB：，由此能夠求出．
解答：解：（1）由已知
∴橢圓的方程為，雙曲線的方程．
又，
∴雙曲線的離心率（5分）
（2）由（Ⅰ）A（-5，0），B（5，0），設M
得M為AP的中點，∴P點坐標為（2x+5，2y）
將M、P坐標代入C₁、C₂方程得，
消去y得2x²+5x-25=0，
解之得，
由此可得P（10，，直線PB：，
即
代入，
∴∴，∴x_N=x_M，
故MN⊥x軸，所以（12分）
點評：本題考查橢圓方程及雙曲線離心率的求法，計算的值．解題時要熟練掌握解決直線與圓錐曲線的綜合應用能力，具體涉及到軌跡方程的求法及直線與圓錐曲線的相關知識，解題時要注意合理地進行等價轉化．