【題目】設函數
（1）當
時，若
是函數
的極值點，求證：
；
（2）（i）求證：當
時，
；
（ii）若不等式
對任意恒成立，求實數
的取值范圍.
注：e=2.71828...為自然對數的底數.
【答案】（1）證明見解析
（2）（i）證明見解析 （i i）
【解析】
（1）先求導，得
，再令
，求得
，可判斷
單調遞增恒成立，再根據零點存在定理計算兩端點值，即可求證
（2）（i）要證
，只需證
，只需證
，通過求導證明
，求得
，即可求證
（ii）先通過必要性進行探路，當
時，一定成立，推出
，當
時，
，化簡得
，
進一步求導得
，結合（i）中放縮可得
，再對
和
分類討論，進而求證
解析：（1）
，
令
即恒增，又
，
，所以
在
上有一根，即為
的極值點
，且
；
（2）（i）
要證，只需證，只需證，
，
，即
在
，即
，所以
恒成立，即
在單調遞增，又有
，所以
恒成立，即.
（i i）必要性探路：當，有
，
當時，
設
（1）當時，
，
所以函數
（2）當時，
所以函數
綜上所述：實數
的取值范圍為.
津橋教育計算小狀元系列答案科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知三個不同平面
、
、
和直線
，下面有四個命題：
①若
，
，
，則
；
②直線上有兩點到平面的距離相等，則
；
③
，
，則
；
④若直線不在平面內，
，，則
.
則正確命題的序號為__________．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知橢圓
的離心率
，過點
和
的直線與原點的距離為
.
（1）求橢圓C的標準方程；
（2）設
分別為橢圓C的左、右焦點，過
作直線交橢圓于P，Q兩點，求
面積的最大值.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】以下說法中正確的是______.
①函數
在區間
上單調遞減；
②函數
的圖象過定點
；
③若
是函數
的零點，且
，則
；
④方程
的解是
；
⑤命題“
，
”的否定是
，
.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知函數 
.
（1）設角
的頂點在坐標原點，始邊在
軸的正半軸上，終邊過點
，求
的值；
（2）試討論函數
的基本性質（單調性、周期性）（直接寫出結論）.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】設有關于x的一元二次方程
．
若a是從0,1,2三個數中任取的一個數,b是從0,1,2,3四個數中任取的一個數,求上述方程有實根的概率；
若a是從區間
任取的一個數,b是從區間
任取的一個數,求上述方程有實數的概率．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】甲、乙兩位同學參加數學競賽培訓，現得到他們在培訓期間參加的8次比賽成績如下：甲：81，79，95，88，84，93，78，82；乙：80，83，92，85，75，95，80，90.
（1）試畫出甲、乙兩位同學比賽成績的莖葉圖，你能從莖葉圖中獲取哪些信息？（不少于三條）
（2）在甲同學的8次比賽成績中，從不小于80分的成績中隨機抽取2個成績，列出所有可能的結果，并求抽出的2個成績均大于85分的概率.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】定義在R上的函數f(x)滿足
，
.
(1)求函數f(x)的解析式；
(2)求函數g(x)的單調區間；
(3)給出定義：若s，t，r滿足
，則稱s比t更接近于r，當x≥1時，試比較
和
哪個更接近
，并說明理由.
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