Question

已知數列{a_n}的前n項和S_n=-ba_n+1-

1

(1+b)n

，其中b是與n無關的常數，且0＜b＜1，若

lim

n→∞

S_n存在，則 

lim

n→∞

S_n=

 

．

Answer 1

分析：對等式S_n=-ba_n+1-

1

(1+b)n

兩邊求極限，因0＜b＜1，所以

lim

n→∞

1

(1+b)n

=0，又a_n=S_n-S_n-1，從而求出所求．

解答：解：由S_n=-ba_n+1-

1

(1+b)n

，及

lim

n→∞

S_n存在得

lim

n→∞

S_n=-b

lim

n→∞

a_n+1-

lim

n→∞

1

(1+b)n

，
因0＜b＜1，所以

lim

n→∞

1

(1+b)n

=0，又a_n=S_n-S_n-1
故上式可變為

lim

n→∞

S_n=-b（

lim

n→∞

S_n-

lim

n→∞

S_n-1）+1，

lim

n→∞

S_n=

lim

n→∞

S_n-1，因此  

lim

n→∞

S_n=1
故答案為：1

點評：本題主要考查數列的極限，解題的關鍵是對整個等式求極限，有一定的難度，屬于中檔題．