Question

如果有窮數列N*)，滿足條件：即，我們稱其為“對稱數列”.例如：數列1，2，3，4，3，2，1就是“對稱數列”.已知數列是項數為不超過的“對稱數列”，并使得1，2，22，…，依次為該數列中前連續的項，則數列的前2008項和可以是：
①；②；  ③；④.
其中命題正確的個數為           （   ）

A．1

B．2

C．3

D．4

Answer 1

B

分析：由題意由于新定義了對稱數列，且已知數列b_n是項數為不超過2m（m＞1，m∈N^*）的“對稱數列”，并使得1，2，2²，…，2^m-1依次為該數列中前連續的m項，故數列b_n的前2008項利用等比數列的前n項和定義直接可求①②的正確與否；對于③④，先從等比數列的求和公式求出任意2m項的和在利用減法的到需要的前2008項的和，即可判斷．
解：因為數列b_n是項數為不超過2m（m＞1，m∈N^*）的“對稱數列”，并使得1，2，2²，…，2^m-1依次為該數列中前連續的m項，
故數列b_n的前2008項可以是：①1，2，2²，2³…，2¹⁰⁰³，2¹⁰⁰³，…，2²，1．
所以前2008項和S₂₀₀₈=2×=2（2¹⁰⁰⁴-1），所以①②錯；
對于 ③1，2，2²…2^m-1，2^m-1，2^m-2，…，2，1，
1，2，…2^m-2，2^m-1，2^m-1，2^m-2，…，2，1…m=2n．m=8，利用等比數列的求和公式可以得：s₂₀₀₈=3?2^m-1-2^2m-2009-1，所以③正確；
對于④1，2，2²，…2^m-2，2^m-1，2^m-2，…，2，1，1，2，…2^m-2，2^m-1，2^m-2，…，2，1…m-1=2n+1，利用等比數列的求和公式可得：
S₂₀₀₈=2^m+1-2^2m-2008-1，故④正確．
故選：B