Question

已知函數(shù)f（x）=a^x（x∈R），a＞0，a≠1，g（x）=f^-1（x），若f（x）與g（x）的交點(diǎn)的個(gè)數(shù)的最大值為M，最小值為N，則M+N=（　　）

A．2

B．3

C．4

D．5

Answer 1

分析：通過(guò)分類討論，得到在a的不同取值范圍內(nèi)指數(shù)函數(shù)與其反函數(shù)圖象交點(diǎn)的個(gè)數(shù)，得到M和N的值，從而得到答案，該題可作為結(jié)論性的知識(shí)熟記．

解答：解：當(dāng)0＜a＜1時(shí)，函數(shù)f（x）=a^x的圖象與其反函數(shù)的圖象顯然有1個(gè)交點(diǎn)，且該交點(diǎn)在直線y=x上，
除該交點(diǎn)外，可以證明當(dāng)0＜a＜e^-e時(shí)，函數(shù)f（x）=a^x的圖象與其反函數(shù)的圖象還有另外2個(gè)交點(diǎn)．
事實(shí)上：令g（x）=a^x-log_ax（x＞0）．
則g′(x)=axlna-

1

xlna

=

xaxln2a-1

xlna

．
記h(x)=

xaxln2a-1

lna

，則h（x）與g′（x）同號(hào)．
令h（x）=0，得x=-

1

lna

．
當(dāng)x∈(0，-

1

lna

)時(shí)，h′（x）＜0
當(dāng)x∈（-lna，+∞）時(shí)，h′（x）＞0．
∴當(dāng)x=-

1

lna

時(shí)函數(shù)h（x）有極小值-

1

e

-

1

lna

．
①令-

1

e

-

1

lna

＞0，即e^-e＜a0，
g（x）在（0，+∞）上為增函數(shù)，∴e^-e＜a＜1時(shí)，
y=a^x與y=x的圖象有1個(gè)交點(diǎn)；
令-

1

e

-

1

lna

＜0，又

lim

x→0

h(x)=-

1

lna

＞0，

lim

x→∞

h(x)＞0．
∴方程h（x）=0，也就是g′（x）=0在區(qū)間(0，-

1

lna

)，(-

1

lna

，+∞)上各有一個(gè)根．
利用導(dǎo)數(shù)進(jìn)一步證明0＜a＜e^-e時(shí)函數(shù)g（x）=0有另外兩根．
借助于幾何畫板可知：
當(dāng)1＜a＜e

1

e

時(shí)，函數(shù)f（x）=a^x的圖象與其反函數(shù)的圖象有2個(gè)交點(diǎn)；
當(dāng)a=e

1

e

時(shí)，函數(shù)f（x）=a^x的圖象與其反函數(shù)的圖象有1個(gè)交點(diǎn)；
當(dāng)a＞e

1

e

時(shí)，函數(shù)f（x）=a^x的圖象與其反函數(shù)的圖象無(wú)交點(diǎn)．
∴M=3，N=0．
∴M+N=3．
故選B．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了反函數(shù)，考查了分類討論的數(shù)學(xué)思想方法，考查了函數(shù)與其反函數(shù)圖象間的關(guān)系，是中檔題．