Question

如圖，對每個正整數n，A_n(x_n，y_n)是拋物線x²=4y上的點，過焦點F的直線FA_n交拋物線于另一點B_n（s_n，t_n），
（Ⅰ）試證：x_ns_n=-4（n≥1）；
（Ⅱ）取x_n=2ⁿ，并記C_n為拋物線上分別以A_n與B_n為切點的兩條切線的交點．試證：|FC₁|+|FC₂|+…+|FC_n|=2ⁿ-2^-n+1+1（n≥1）。

Answer 1

證明：（Ⅰ）對任意固定的n≥1，
因為焦點F(0，1)，所以可設直線A_nB_n的方程為y-1=，
將它與拋物線方程聯立得，
由一元二次方程根與系數的關系得。
（Ⅱ）對任意固定的n≥1，
利用導數知識易得拋物線在A_n處的切線的斜率，
故在A_n處的切線方程為，①
類似地，可求得在B_n處的切線方程為，②
由②減去①得，
從而，
，
，③
將③代入①并注意得交點C_n的坐標為（，-1），
由兩點間的距離公式得，
從而，
現在，利用上述已證結論并由等比數列求和公式得，