Question

如圖，對每個正整數n，A_n（x_n，y_n）是拋物線x²=4y上的點，過焦點F的直線FA_n交拋物線于另一點B_n（s_n，t_n）．
（Ⅰ）試證：x_ns_n=-4（n≥1）；
（Ⅱ）取x_n=2ⁿ，并記C_n為拋物線上分別以A_n與B_n為切點的兩條切線的交點．試證：|FC₁|+|FC₂|+…+|FC_n|=2ⁿ-2^-n+1+1．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）先設直線A_nB_n的方程為y-1=k_nx，然后與拋物線方程x²=4y聯立消去y得到x²-4k_nx-4=0，再由根與系數的關系可得到x_ns_n=-4，從而得證．
（Ⅱ）先根據導數求出拋物線x²=4y在A_n處的切線的斜率，進而可得到拋物線在A_n處的切線的方程，同理可得到x²=4y在B_n處的切線方程，然后兩切線方程相減整理可得到交點C_n的坐標，然后結合兩點間的距離公式可得到整理即可得到，又由于x_n=2ⁿ可得到|FC₁|+|FC₂|+…+|FC_n|=（|x₁|+|x₂|+…+|x_n|）+2=
，最后根據等比數列的前n項和公式可得到最后答案．
解答：證明：（Ⅰ）對任意固定的n≥1，因為焦點F（0，1），
所以可設直線A_nB_n的方程為y-1=k_nx，
將它與拋物線方程x²=4y聯立得：x²-4k_nx-4=0，
由一元二次方程根與系數的關系得x_ns_n=-4（n≥1）．
（Ⅱ）對任意固定的n≥1，
利用導數知識易得拋物線x²=4y在A_n處
的切線的斜率，
故x²=4y在A_n處的切線的方程為：，①
類似地，可求得x²=4y在B_n處的切線的方程為：，②
由②-①得：，，∴③
將 ③代入 ①并注意x_ns_n=-4得交點C_n的坐標為．
由兩點間的距離公式得：=．
現在x_n=2ⁿ，利用上述已證結論并由等比數列求和公式得：
|FC₁|+|FC₂|+…+|FC_n|=（|x₁|+|x₂|+…+|x_n|）+2
=．
點評：本題主要考查直線與拋物線的綜合問題和等比數列的前n項和公式．考查基礎知識的綜合運用和計算能力．圓錐曲線、直線以及數列是高考必考題，要給予重視．