Question

已知數列{a_n}中，a₂=a+2（a為常數），S_n是{a_n}的前n項和，且S_n是na_n與na的等差中項．
（1）求數列{a_n}的通項公式；
（2）設數列{b_n}是首項為1，公比為的等比數列，T_n是{b_n}的前n項和，問是否存在常數a，使a₁₀•T_n＜12恒成立？若存在，求出a的取值范圍；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）由S_n是na_n與na的等差中項，我們易得2S_n=na_n+na，進一步得到2S_n-1=na_n-1+（n-1）a，由于關系式中即有S_n又有a_n故可根據a_n⁼S_n^-S_n-1，將上述公式相減得到數列的遞推公式，進一步求出數列的通項公式．
（2）根據已知條件，不難寫出數列{b_n}的前n項和公式T_n，結合（1）的結論，可構造出一個關于a 的不等式，解不等式，可得滿足條件的a的取值范圍．
解答：解：（1）由已知得：2S_n=na_n+na，
所以當n≥2時2S_n-1=（n-1）a_n-1+（n-1）a．
兩式相減得：2a_n=na_n-（n-1）a_n-1+a，
整理得：（n-1）a_n-1=（n-2）a_n+a．
當n≥3時，上式可化為：
，
于是：．
又，2a₁=a₁+a⇒a₁=a，a₂=a+2均滿足上式，
故a_n=2n+a-2（n∈N^*）
（2）因為，
所以．
又a₁₀=a+18，所以a₁₀•T_n＜12
可化為，
整理得：．
令，
則當n為奇數時，；
當n為偶數時，．
所以，，
故．
故存在常數a，使a₁₀•T_n＜12恒成立，
其范圍是（-∞，-6）．
點評：本題是數列的綜合應用問題，考查的知識點多而且均為難點，對于此類型的問題處理方法為：1．審題--弄清題意，分析涉及哪些數學內容，在每個數學內容中，各是什么問題.2．分解--把整個大題分解成幾個小題或幾個“步驟”，每個小題或每個小“步驟”分別是數列問題、函數問題、解析幾何問題、不等式問題等.3．求解--分別求解這些小題或這些小“步驟”，從而得到整個問題的解答