Question

已知偶函數y=f（x）滿足：當x≥2時，f（x）=（x-2）（a-x），a∈R，當x∈[0，2）時，f（x）=x（2-x）
（1）求當x≤-2時，f（x）的表達式；
（2）若直線y=1與函數y=f（x）的圖象恰好有兩個公共點，求實數a的取值范圍．
（3）試討論當實數a，m滿足什么條件時，函數g（x）=f（x）-m有4個零點且這4個零點從小到大依次成等差數列．

Answer 1

分析：（1）先設x≤-2，則-x≥2，再利用函數是偶函數可求；（2）分a＞2與a≤2進行討論可求；（3）問題等價于f（x）=m零點x₁，x₂，x₃，x₄，y=f（x）與y=m交點4個且均勻分布，從而可解．

解答：解：（1）設x≤-2，則-x≥2，∴f（-x）=（-x-2）（a+x）
又∵偶函數∴f（x）=f（-x）f（x）=（x+a）（-x-2）（2分）
（2）（Ⅰ）a＞2時x≥2，f（x）=（x-2）（a-x）
f(x)max=f(1+

a

2

)=(

a

2

-1)2（3分）

∴( a 2 -1)2＜1 ∴0＜a＜4 ∴2＜a＜4

（Ⅱ）a≤2時，都滿足
綜上，所以 a＜4（2分）
（3）f（x）=m零點x₁，x₂，x₃，x₄，y=f（x）與y=m交點4個且均勻分布
（Ⅰ）a≤2時

x1+x2=-2 2x2=x1+x3 x2+x3=0

得x1=3x2，x1=-

3

2

，x2=-

1

2

，x3=

1

2

，x4=

3

2

（2分）
m=

3

4

（Ⅱ）2＜a＜4時，m=

3

4

時
且(

a

2

-1)2＜

3

4

-

3

+2＜a＜

3

+2（2分）
所以 2＜a＜

3

+2時，m=

3

4

（Ⅲ）a=4時m=1時    （1分）
（IV）a＞4時，m＞1

x3+x4=2+a 2x3=x2+x4 x2=-x3

?x4=

2+a

4

，m=(

2+a

4

-2)(a-

2+a

4

)=

3a2-20a+12

16

此時1＜m＜(

a

2

-1)2
所以 a＞

10+4 7

3

ora＜

10-4 7

3

（舍）a＞4且a＞

10+4 7

3

時，m=

3a2-20a+12

16

時存在  （2分）
綜上：
①a＜2+

3

時，m=

3

4

②a=4時，m=1
③a＞

10+4 7

3

時，m=

3a2-20a+12

16

符合題意（1分）

點評：本題考查函數的性質，解析式的求解及分類討論的數學思想．