Question

如圖，兩個圓形飛輪通過皮帶傳動，大飛輪O₁的半徑為2r(r為常數)，小飛輪O₂的半徑為r，O₁O₂＝4r.在大飛輪的邊緣上有兩個點A，B，滿足∠BO₁A＝，在小飛輪的邊緣上有點C.設大飛輪逆時針旋轉，傳動開始時，點B，C在水平直線O₁O₂上．

(1)求點A到達最高點時A，C間的距離；
(2)求點B，C在傳動過程中高度差的最大值．

Answer 1

（1）·r.    （2）r.

解：(1)以O₁為坐標系的原點，O₁O₂所在直線為x軸，建立如圖所示的直角坐標系．當點A到達最高點時，點A繞O₁轉過，則點C繞O₂轉過.
此時A(0,2r)，C(r，r)．
∴AC＝＝·r.

(2)由題意，設大飛輪轉過的角度為θ，
則小飛輪轉過的角度為2θ，其中θ∈[0,2π]．
此時B(2rcos θ，2rsin θ)，C(4r＋rcos 2θ，rsin 2θ)．
記點B，C的高度差為d，則d＝|2rsin θ－rsin 2θ|，
即d＝2r|sin θ－sin θcos θ|.
設f(θ)＝sin θ－sin θcos θ，θ∈[0,2π]，
則f′(θ)＝(1－cos θ)(2cos θ＋1)．
令f′(θ)＝(1－cos θ)(2cos θ＋1)＝0，得cos θ＝－或1，則θ＝，，0或2π.
f(θ)和f′(θ)隨θ的變化情況如下表：

θ	0						2π
f′(θ)		＋	0	－	0	＋
f(θ)	0	?	極大值 f	?	極小值 f	?	0

 
∴當θ＝時，f(θ)取得極大值；當θ＝時，f(θ)取得極小值－.
綜上所述，點B，C在傳動過程中高度差的最大值d_max＝r.