Question

【題目】函數f（x）=log3（x2+2x﹣8）的定義域為A，函數g（x）=x2+（m+1）x+m．
（1）若m=﹣4時，g（x）≤0的解集為B，求A∩B；
（2）若存在 使得不等式g（x）≤﹣1成立，求實數m的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：由x2+2x﹣8＞0，解得：x∈（﹣∞，﹣4）∪（2，+∞），

故則函數f（x）=log3（x2+2x﹣8）的定義域A=（﹣∞，﹣4）∪（2，+∞），

若m=﹣4，g（x）=x2﹣3x﹣4，由x2﹣3x﹣4≤0，解得：x∈[﹣1，4]，則B=[﹣1，4]

所以A∩B=（2，4]

（2）解：存在 使得不等式x2+（m+1）x+m≤﹣1成立，

即存在 使得不等式﹣m≥ 成立，所以﹣m≥（ ）min

因為 =x+1+ ﹣1≥1，

當且僅當x+1=1，即x=0時取得等號

所以﹣m≥1，

解得：m≤﹣1

【解析】（1）求出集合A，B，由交集運算的定義，可得A∩B；（2）若存在 使得不等式g（x）≤﹣1成立，即存在 使得不等式﹣m≥ 成立，所以﹣m≥（ ）min ， 解得實數m的取值范圍．
【考點精析】根據題目的已知條件，利用函數的最值及其幾何意義的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握利用二次函數的性質（配方法）求函數的最大（小）值；利用圖象求函數的最大（小）值；利用函數單調性的判斷函數的最大（小）值．