Question

【題目】已知橢圓的焦點在x軸上，中心在坐標原點，離心率，橢圓上的點到左焦點的距離的最大值為.

（1）求橢圓的標準方程；

（2）過橢圓的右焦點F作與坐標軸不垂直的直線l，交橢圓于A、B兩點，設點是線段OF上的一個動點，且，求m的取值范圍；

（3）設點C是點A關于x軸的對稱點，在x軸上是否存在一個定點N，使得C、B、N三點共線？若存在，求出定點N的坐標，若不存在，請說明理由；

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）定點，證明過程見解析

【解析】

（1）由橢圓上的點到左焦點的距離的最大值即和離心率，求出和，再求出，即可求出橢圓標準方程；

（2）設直線方程，代入橢圓方程，并利用韋達定理求出和，設中點為,將轉化為，表示出，即可得到的范圍；

（3）求出點坐標，再設點，由C、B、N三點共線得到，利用向量平行的坐標形式表示出，再利用（2）中的韋達定理化簡即可得到定點的坐標.

（1）由題意，橢圓焦點在軸上，設橢圓方程，

則橢圓上的點到左焦點的距離的最大值即，

又，解得，，所以，

所以橢圓標準方程為：.

（2）由題意，點，

因為點在線段上，所以，

設過點的直線方程為，

代入橢圓方程并整理得，，

設點，點，則，，

，

設中點，

由，可得，

所以，即，

，

整理得，，

所以的取值范圍為.

（3）由（2）知，點和點關于軸對稱，所以，

設點，則，，

當C、B、N三點共線時，即，

所以，

整理得，，

由（2）知，，，，

所以，

所以定點.