Question

已知函數

（Ⅰ）判斷f(x)在上的單調性，并證明你的結論；

（Ⅱ）若集合A={y | y=f(x)，}，B=[0,1]， 試判斷A與B的關系；

（Ⅲ）若存在實數a、b(a<b)，使得集合{y | y=f(x)，a≤x≤b}=[ma，mb]，求非零實數m的取值范圍.

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）f(x)在上為增函數.證明見解析（Ⅱ）A=B.（Ⅲ）

【解析】本題考查了函數單調性的定義，并結合著函數性質對區間進行分類討論，并求解．分類討論在高中范圍內仍是很重要的一類思想，在高考中也是經常考查到的思想．

（1）由函數單調性的定義出發，給出證明．

（2）由x的范圍算出f（x）的值域．再講兩個集合A和B進行比較．

（3）由前面單調性及函數特征的分析可知，0和1作為分類討論的兩個分界點分別討論．

解：（1）f(x)在上為增函數.

∵x≥1時，f(x)=1－     對任意的x₁，x₂，當1≤x₁<x₂時

f(x₁)－ f(x₂)=(1－)－(1－)=

∵x₁x₂>0，x₁－x₂<0      ∴      ∴f(x₁)< f(x₂)

∴f(x)在上為增函數.

（2）證明f(x)在上單調遞減，[1，2]上單調遞增, 求出A=[0，1]說明A=B.

（3）∵a<b，ma<mb，∴m>0    ∵f(x)≥0, ∴ma≥0，又a≠0，∴a>0 

 1° 0<a<b≤1，由圖象知，f(x)當x[a，b]遞減，

∴與a<b矛盾

2° 0<a<1<b，這時f(1)=0，則ma=0,而ma>0  這亦與題設不符；

3° 1≤a<b，f(x)當x[a,b]遞增

可知mx²-x+1=0在內有兩不等實根

由  ，得

綜上可知