Question

已知半徑為5的動圓C的圓心在直線l:x-y+10=0上.

(1)若動圓C過點(-5,0),求圓C的方程;

(2)是否存在正實數r,使得動圓C中滿足與圓O:x²+y²=r²相外切的圓有且僅有一個,若存在,請求出來;若不存在,請說明理由.

Answer 1

（1）(x+10)²+y²=25或(x+5)²+(y-5)²=25.

（2）當r滿足r+5＜d時，動圓C中不存在與圓O：x²+y²=r²相外切的圓；

當r滿足r+5＞d時，r每取一個數值，動圓C中存在兩個圓與圓O：x²+y²=r²相外切；

當r滿足r+5=d,即r=5-5時，動圓C中有且僅有1個圓與圓O：x²+y²=r²相外切.

解析:

(1)依題意,可設動圓C的方程為

(x-a)²+(y-b)²=25,

其中圓心(a,b)滿足a-b+10=0.

又∵動圓過點(-5,0),

故(-5-a)²+(0-b)²=25.

解方程組

可得或

故所求圓C的方程為

(x+10)²+y²=25或(x+5)²+(y-5)²=25.

(2)圓O的圓心(0,0)到直線l的距離d=.

當r滿足r+5＜d時，動圓C中不存在與圓O：x²+y²=r²相外切的圓；

當r滿足r+5＞d時，r每取一個數值，動圓C中存在兩個圓與圓O：x²+y²=r²相外切；

當r滿足r+5=d,即r=5-5時，動圓C中有且僅有1個圓與圓O：x²+y²=r²相外切.