Question

已知半徑為5的動圓C的圓心在直線l：x-y+10=0上．（1）若動圓C過點（-5，0），求圓C的方程；（2）是否存在正實數r，使得動圓C中滿足與圓O：x²+y²=r²相外切的圓有且只有一個？若存在，請求出來；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）求動圓的方程，可以利用待定系數法，由于半徑已知，故我們可以設圓心坐標為待定系數，再根據圓心在直線l：x-y+10=0上，及圓C過點（-5，0），構造方程組，解方程組求出待定的系數，即可得到圓的方程．
（2）兩圓外切，則R+r=d（其中d為圓心距），我們不妨假設r存在，然后分類討論，即可得到答案．

解答：解：（1）依題意，可設動圓C的方程為（x-a）²+（y-b）²=25，其中圓心（a，b）滿足a-b+10=0．
又∵動圓過點（-5，0），故（-5-a）²+（0-b）²=25．
解方程組

a-b+10=0 (-5-a)2+(0-b)2=25

可得

a=-10 b=0

或

a=-5 b=5

故所求的圓C方程為（x+10）²+y²=25或（x+5）²+（y-5）²=25．
（2）圓O的圓心（0，0）到直線l的距離d=

|10|

1+1

=5

2

．
當r滿足r+5＜d時，動圓C中不存在與圓O：x²+y²=r²相切的圓；
當r滿足r+5=d，即r=5

2

-5時，動圓C中有且僅有1個圓與圓O：x²+y²=r²相外切；
當r滿足r+5＞d，與圓O：x²+y²=r²相外切的圓有兩個．
綜上：r=5

2

-5時，動圓C中滿足與圓O：x²+y²=r²相外切的圓有一個．

點評：求圓的方程時，據條件選擇合適的方程形式是關鍵．
（1）當條件中給出的是圓上幾點坐標，較適合用一般式，通過解三元一次方程組來得相應系數．
（2）當條件中給出的圓心坐標或圓心在某直線上、圓的切線方程、圓的弦長等條件，適合用標準式．