Question

【題目】設函數f（x）=3ax2+2bx+c，且有a+b+c=0，f（0）＞0，f（1）＞0．
（Ⅰ）求證：a＞0，且﹣2＜ ＜﹣1；
（Ⅱ）求證：函數y=f（x）在區間（0，1）內有兩個不同的零點．

Answer 1

【答案】證明：（Ⅰ）∵函數f（x）=3ax2+2bx+c，f（0）＞0，f（1）＞0，
∴c＞0，3a+2b+c＞0，
由條件a+b+c=0，消去b，得a＞c＞0；
由條件a+b+c=0，消去c，得a+b＜0，2a+b＞0，即﹣2a＜b＜﹣a，
∴
（Ⅱ）拋物線f（x）=3ax2+2bx+c的頂點為 ，
由 ，得 ，即有 ，
又∵f（0）＞0，f（1）＞0， ，且圖象連續不斷，
∴函數y=f（x）在區間 與 內分別有一個零點，
故函數y=f（x）在（0，1）內有兩個不同的零點
【解析】（I）由a+b+c=0，f（0）＞0，f（1）＞0，消去b，得a＞c＞0，消去c，得a+b＜0，2a+b＞0，即﹣2a＜b＜﹣a，進而可得a＞0，且﹣2＜ ＜﹣1；（Ⅱ）拋物線f（x）=3ax2+2bx+c的頂點為 ，結合（1）中結論，可得 且f（0）＞0，f（1）＞0， ，且圖象連續不斷，由函數零點存在定理可得結論．
【考點精析】掌握二次函數的性質是解答本題的根本，需要知道當時，拋物線開口向上，函數在上遞減，在上遞增；當時，拋物線開口向下，函數在上遞增，在上遞減．