Question

已知數列和滿足：, 其中為實數，為正整數．

（Ⅰ）對任意實數，證明數列不是等比數列；

（Ⅱ）對于給定的實數，試求數列的前項和；

（Ⅲ）設，是否存在實數，使得對任意正整數，都有成立? 若存在，求的取值范圍；若不存在，說明理由．

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）見解析

（Ⅱ）

（Ⅲ）存在實數，的取值范圍是

【解析】(1)假設存在一個實數，使是等比數列，由題意知，矛盾，所以不是等比數列.

(2)由題設條件知，故當時，數列是以為首項，為公比的等比數列.

(3)由題設條件得，由此入手能夠推出存在實數，使得任意正整數n,都有 ,的取值范圍為.

解：（Ⅰ）證明：假設存在一個實數，使｛｝是等比數列，

則有,

即矛盾．

所以｛｝不是等比數列．   ………………………4分

（Ⅱ）因為

又，所以

當，，此時

當時，， ，

此時，數列｛｝是以為首項，為公比的等比數列．

∴   ……………………8分

（Ⅲ）要使對任意正整數成立，

即

當為正奇數時，

∴的最大值為, 的最小值為,

于是，由（1）式得

當時，由，不存在實數滿足題目要求；

當存在實數，使得對任意正整數，都有,且的取值范圍是…………………………12分