Question

已知函數g（x）=ax³+bx²+cx（a∈R且a≠0），g（-1）=0，則g（x）的導函數f（x）滿足f（0）f（1）≤0．設x₁，x₂為方程f（x）=0的兩根．
（1）求

b

a

的取值范圍；
（2）若當|x₁-x₂|最小時，g（x）的極大值比極小值大

4

3

，求g（x）的解析式．

Answer 1

分析：（1）由題意可得b-a-c=0，函數f（x）=3ax²+2bx+c，且f（0）f（1）=c•（3a+2b+c）≤0，化簡可得3(

b

a

)2-

b

a

-2≤0，由此求得

b

a

的取值范圍．
（2）化簡|x₁-x₂|的解析式為

4

9

(

b

a

-

3

2

)2+

1

3

，故a=b時，|x1-x2|2取最小值，即|x₁-x₂|取最小值，此時，g（x）=ax³+ax²f（x）=3ax²+2ax．分a＞0和a＜0兩種情況分別求出極大值和極小值，根據g（x）的極大值比極小值大

4

3

，求g（x）的解析式．x₁+x₂

解答：解：（1）由題意可得b-a-c=0，函數f（x）=3ax²+2bx+c，且f（0）f（1）=c•（3a+2b+c）≤0．
化簡可得 3b²-ab-2a²≤0．
∵a≠0，∴3(

b

a

)2-

b

a

-2≤0． 解得-

2

3

≤

b

a

≤1，故

b

a

的取值范圍是[-

2

3

，1]． …（4分）
（2）∵|x1-x2|2=(x 1+x 2)2-4x₁•x₂=(-

2b

3a

)2-4（

b

3a

-

1

3

）=

4

9

 ( 

b

a

-

3

2

) 2+

1

3

，
∵-

2

3

≤

b

a

≤1，故當 

b

a

=1，即a=b時，|x1-x2|2取最小值，即|x₁-x₂|取最小值．…（7分）
此時，g（x）=ax³+ax²f（x）=3ax²+2ax．
當a＞0時  f（x）在 (-∞，-

2

3

)上是增函數，在(-

2

3

，0) 上是減函數，在（0，+∞） 上是增函數．
g（x）的極大值為g(-

2

3

)=

4

27

a，極小值為g（0）=0．
由題意

4

27

a-0=

4

3

，a=9，此時g（x）=9x³+9x²．…（10分）
當a＜0時，f（x）在 在 (-∞，-

2

3

)上是減函數，在(-

2

3

，0) 上是增函數，在（0，+∞） 上是減函數．
g（x）的極大值為g（0）=0，極小值為g(-

2

3

)=

4

27

a．
由題意 0-

4

27

a=

4

3

，a=-9，此時g（x）=-9x³-9x²．…（13分）

點評：本題主要考查利用導數研究函數的極值，方程的根與系數的關系，倒數的運算，屬于中檔題．