Question

已知函數f（x）=

a+lnx

x

，且f（x）+g（x）=

(x+1)lnx

x

，
（1）若函數f（x）在區間[1，+∞）上為減函數，求實數a的取值范圍；
（2）若函數g（x）在[1，e]上的最小值為

3

2

，求實數a的值．

Answer 1

分析：（1）函數f（x）在區間[1，+∞）上為減函數?f′(x)=

1-(a+lnx)

x

≤0在區間[1，+∞）上恒成立?a≥1-lnx在區間[1，+∞）上恒成立，?a≥[1-lnx]_max，在區間[1，+∞）上．利用其單調性解出即可．
（2）g（x）=

(x+1)lnx

x

-

a+lnx

x

=lnx-

a

x

．（x＞0）．可得g′(x)=

1

x

+

a

x2

=

x+a

x2

．對a分類討論：①當a≥0時，②當a＜0時，當-a＜1時；當-a＞e時，即a＜-e；當1≤-a≤e時，利用其單調性求出即可．

解答：解：（1）∵函數f（x）在區間[1，+∞）上為減函數，∴f′(x)=

1-(a+lnx)

x

≤0在區間[1，+∞）上恒成立，
∴a≥1-lnx在區間[1，+∞）上恒成立，
等價于a≥[1-lnx]_max，在區間[1，+∞）上．
∵1-lnx在區間[1，+∞）上單調遞減，
∴[1-lnx]_max=1-ln1=1，∴a≥1．
即實數a的取值范圍為[1，+∞）；
（2）g（x）=

(x+1)lnx

x

-

a+lnx

x

=lnx-

a

x

．（x＞0）．
g′(x)=

1

x

+

a

x2

=

x+a

x2

．
①當a≥0時，g（x）在（0，+∞）上單調遞增，在[1，e]上單調遞增，
∴g（x）_min=g（1）=-a=

3

2

，解得a=-

3

2

，應舍去．
②當a＜0時，g（x）在（0，-a）上單調遞減，在（-a，+∞）上單調遞增．
當-a＜1時，即-1＜a＜0，g（x）在[1，e]上單調遞增，g(x)min=g(1)=-a=

3

2

，解得a=-

3

2

，應舍去．
當-a＞e時，即a＜-e，g（x）在[1，e]上單調遞減，g(x)min=g(e)=1-

a

e

=

3

2

，解得a=-

e

2

，應舍去．
當1≤-a≤e時，即-e≤a≤-1，g（x）在[1，-a]上單調遞減，在（-a，e）單調遞增，
∴g（x）_min=g（-a）=ln（-a）+1=

3

2

，解得a=-

e

．
綜上所述，a=-

e

．

點評：熟練掌握利用導數研究函數的單調性、極值與最值、分類討論的思想方法等是解題的關鍵．