Question

（（本小題滿分12分）
已知幾何體的三視圖如圖所示，其中側視圖和俯視圖都是腰長為4的等腰直角三角形，正視圖為直角梯形.求：

（1）異面直線與所成角的余弦值；
（2）二面角的正弦值；
（3）此幾何體的體積的大小.

Answer 1

解：方法一（1）取EC的中點是F，連結BF，
則BF//DE，∴∠FBA或其補角即為異面直線DE與AB所成的角．
在△BAF中，AB=，BF=AF=．∴．
∴異面直線DE與AB所成的角的余弦值為．………………4分
（2）AC⊥平面BCE，過C作CG⊥DE交DE于G，連AG．
可得DE⊥平面ACG，從而AG⊥DE
∴∠AGC為二面角A-ED-B的平面角．
在△ACG中，∠ACG=90°，AC=4，CG=
∴．∴．
∴二面角A—ED—B的正弦值為．………………8分
（3）
∴幾何體的體積V為16．………………12分
方法二：（坐標法）（1）以C為原點，以CA，CB，CE所在直線為x，y，z軸建立空間直角坐標系．
則A（4，0，0），B（0，4，0），D（0，4，2），E（0，0，4）
，∴
∴異面直線DE與AB所成的角的余弦值為．…………4分
（2）平面BDE的一個法向量為，
設平面ADE的一個法向量為，

∴
從而,令，
則,
∴二面角A-ED-B的的正弦值為．………………8分
（3），∴幾何體的體積V為16．………………12分

解析