Question

設(shè)是各項(xiàng)均不為零的（）項(xiàng)等差數(shù)列，且公差.
（1）若,且該數(shù)列前項(xiàng)和最大，求的值；
（2）若,且將此數(shù)列刪去某一項(xiàng)后得到的數(shù)列（按原來(lái)的順序）是等比數(shù)列，求的值；
（3）若該數(shù)列中有一項(xiàng)是，則數(shù)列中是否存在不同三項(xiàng)（按原來(lái)的順序）為等比數(shù)列？請(qǐng)說(shuō)明理由.

Answer 1

（1）取最大時(shí)的值為30或31；（2）的值為或10

解析試題分析：（1）由等差數(shù)列前n項(xiàng)和的二次函數(shù)性質(zhì)求解
（2）分類討論思想，依次分刪去第一項(xiàng)、第二項(xiàng)、第三項(xiàng)、第四項(xiàng)后成等比數(shù)列求解；
（3）考慮反證法
試題解析：（1）解法一：由已知得
∴
∵∴取最大時(shí)的值為30或31.
解法二：由已知得∴.
若取最大，則只需即解得.
∵∴當(dāng)取最大時(shí)的值分別是30或31.
（2）當(dāng)時(shí)，該數(shù)列的前4項(xiàng)可設(shè)為10、、、.
若刪去第一項(xiàng)10，則由題意得，解得，不符合題意.
若刪去第二項(xiàng)，則由題意得解得，符合題意.
若刪去第三項(xiàng)，則由題意得解得，符合題意.
若刪去第四項(xiàng)，則由題意得解得，不符合題意.
綜上所述，的值為或10.
（3）設(shè)

設(shè)該數(shù)列存在不同的三項(xiàng)成等比數(shù)列，則
，化簡(jiǎn)得


又
將代入得這與題設(shè)矛盾
故該數(shù)列不存在不同三項(xiàng)（按原來(lái)的順序）為等比數(shù)列.
考點(diǎn)：等差數(shù)列的定義及性質(zhì)，等比數(shù)列的定義及性質(zhì)