Question

（本小題滿分13分）

已知, 是平面上一動(dòng)點(diǎn), 到直線上的射影為點(diǎn)，且滿足

（Ⅰ）求點(diǎn)的軌跡的方程；

（Ⅱ）過(guò)點(diǎn)作曲線的兩條弦, 設(shè)所在直線的斜率分別為, 當(dāng)變化且滿足時(shí)，證明直線恒過(guò)定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)坐標(biāo)．

 

Answer 1

【答案】

(1) y²="4x" (2) 直線AB經(jīng)過(guò)(5,-6)這個(gè)定點(diǎn)

【解析】

試題分析：解： （Ⅰ）設(shè)曲線C上任意一點(diǎn)P(x,y), 又F(1,0)，N(－1,y),從而 

,,

化簡(jiǎn)得y²="4x," 即為所求的P點(diǎn)的軌跡C的對(duì)應(yīng)的方程.         ………………4分

（Ⅱ）設(shè)、、、

將MB與聯(lián)立，得：

∴         ①

同理        ②

而AB直線方程為: ，即  ③

………………8分

由①②:y₁+y₂=

代入③，整理得恒成立………………10分

則 故直線AB經(jīng)過(guò)(5,-6)這個(gè)定點(diǎn).. ………………13分

考點(diǎn)：軌跡方程，直線與拋物線的位置關(guān)系

點(diǎn)評(píng)：解決該試題的關(guān)鍵是利用設(shè)點(diǎn)，得到關(guān)系式，然后坐標(biāo)化，進(jìn)而化簡(jiǎn)得到軌跡方程。屬于基礎(chǔ)題。