Question

【題目】袋中共有8個(gè)乒乓球，其中有5個(gè)白球，3個(gè)紅球，這些乒乓球除顏色外完全相同.從袋中隨機(jī)取出一球，如果取出紅球，則把它放回袋中；如果取出白球，則該白球不再放回，并且另補(bǔ)一個(gè)紅球放入袋中，重復(fù)上述過程次后，袋中紅球的個(gè)數(shù)記為.

(I)求隨機(jī)變量的概率分布及數(shù)學(xué)期望；

(Ⅱ)求隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望關(guān)于的表達(dá)式.

Answer 1

【答案】(Ⅰ)答案見解析；(Ⅱ).

【解析】分析：（1）由題意得到的所有取值，然后利用古典概型概率計(jì)算公式求出概率，則可得出答案；

（2）設(shè)，，則則 ， ，再把、……、用 表示，得到，從而說明為等比數(shù)列，由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式得答案.

解析：(1)由題意可知.

當(dāng)時(shí)，即二次摸球均摸到紅球，其概率是；

當(dāng)時(shí)，即二次摸球恰好摸到一紅，一白球，其概率 ；

當(dāng)時(shí)，即二次摸球球均摸到白白球球其概率是.

所以隨機(jī)變量的概率分布如下表：

(一個(gè)概率得一分不列表不扣分)

數(shù)學(xué)期望 .

(Ⅱ)設(shè)，.

則 ， .

，，，，

，.

所以，.

.

由此可知，.

又，所以.