Question

（本小題滿分12分）如圖，正方體ABCD—A₁B₁C₁D₁中，P、M、N分別為棱DD₁、AB、BC的中點 ．

（1）求二面角B₁MNB的正切值；
（2）求證：PB⊥平面MNB₁；
（3）若正方體的棱長為1，畫出一個正方體表面展開圖，使其滿足“有4個正方形面相連成一個長方形”的條件，并求出展開圖中P、B兩點間的距離 ．

Answer 1

（1）解：連結BD交MN于F，連結B₁F.
∵平面DD₁B₁B⊥平面ABCD,交線為BD，AC⊥BD,
∴AC⊥平面DD₁B₁B.又∵AC//MN，
∴MN⊥平面DD₁B₁B.
∵B₁F,BF平面DD₁B₁B，
∴B₁F⊥MN,BF⊥MN.
∵B₁F平面B₁MN，
BF平面BMN，則∠B₁FB為二面角B₁-MN-B的平面角.       -----------------------2分
在Rt△B₁FB中，設B₁B=1，則FB=，
∴tan∠B₁FB=.              -------------------------4分
（2）證明：過點P作PE⊥AA₁，則PE∥DA，連結BE.
又DA⊥平面ABB₁A₁，∴PE⊥平面ABB₁A₁,即PE⊥B₁M.
又BE⊥B₁M，∴B₁M⊥平面PEB.
∴PB⊥MB₁. 
由（1）中MN⊥平面DD₁B₁B,得PB⊥MN，所以PB⊥平面MNB₁.     -----------------8分
（3）解：PB=，符合條件的正方體表面展開圖可以是以下6種之一：
    -------------12分

試題分析：（1）要求二面角B₁-MN-B的正切值，我們要先找出二面角的平面角，再構造三角形，解三角形求出其正切值．
（2）要證明PB⊥平面B₁MN，我們要在平面內找到兩條與PB垂直的相交直線，分析題意可知B₁M，B₁N滿足要求，進而可以轉化為證明線線垂直．
（3）利用側面展開圖來得到BP的長度的求解。
點評：解決該試題的關鍵是線線垂直可由線面垂直的性質推得，直線和平面垂直，這條直線就垂直于平面內所有直線，這是尋找線線垂直的重要依據．垂直問題的證明，其一般規律是“由已知想性質，由求證想判定”，也就是說，根據已知條件去思考有關的性質定理；根據要求證的結論去思考有關的判定定理，往往需要將分析與綜合的思路結合起來．本題也可以用空間向量來解決，其步驟是：建立空間直角坐系⇒明確相關點的坐標⇒明確相關向量的坐標⇒通過空間向量的坐標運算求解。