Question

如圖，設拋物線C：y=x²的焦點為F，動點P在直線l：x-y-2=0上運動，過P作拋物線C的兩條切線PA、PB，且與拋物線C分別相切于A、B兩點．則△APB的重心G的軌跡方程為

 

．

Answer 1

分析：欲求軌跡方程，可尋找被動點M的坐標（x，y）與主動點N的坐標（x₀，y₀）之間的關系，并用x，y表示x₀，y₀，再代入曲線C₀的方程即可；此法為“參數法”的一種，借助M、N兩點坐標之間的關系及曲線C₀的方程消去兩個參數x₀，y₀．

解答：解：設切點A、B坐標分別為（x₀，x₀²）和（x₁，x₁²）（x₁≠x₀），
∵y′=2x，∴兩切線斜率分別為：2x₀和2x₁，
于是：切線AP的方程為：2x₀x-y-x₀²=0
切線BP的方程為：2x₁x-y-x₁²=0
解得P點的坐標為：x_P=

x0+x1

2

，y_P=x₀x₁
所以△APB的重心G的坐標為x_G=

x0+x1+xP

3

=x_P，
y_G=

y0+y1+yP

3

=

x 2 0 + x 2 1 + x0x1

3

=

(x0+x1) 2-x0x1

3

=

4 x 2 P -yP

3

∴y_P=-3y_G+4x_G²，結合x_P=x_G代入點P所在直線方程，得到重心G的軌跡方程為：x-（-3y+4x²）-2=0，即y=

1

3

（4x²-x+2）．

點評：本題求軌跡的方法稱為“代入法”，問題的基本結構是：動點N在已知曲線C₀上移動，動點M隨之移動（伴隨點），求動點M的軌跡方程．其求解可多參考本題分析中的一般解法．