Question

如圖，設拋物線C：y=x²的焦點為F，動點P在直線l：x-y-2=0上運動，過P作拋物線C的兩條切線PA、PB，且與拋物線C分別相切于A、B兩點．則△APB的重心G的軌跡方程為     ．

Answer 1

【答案】分析：欲求軌跡方程，可尋找被動點M的坐標（x，y）與主動點N的坐標（x，y）之間的關系，并用x，y表示x，y，再代入曲線C的方程即可；此法為“參數法”的一種，借助M、N兩點坐標之間的關系及曲線C的方程消去兩個參數x，y．
解答：解：設切點A、B坐標分別為（x，x²）和（x₁，x₁²）（x₁≠x），
∵y^/=2x，∴兩切線斜率分別為：2x和2x₁，
于是：切線AP的方程為：2xx-y-x²=0
切線BP的方程為：2x₁x-y-x₁²=0
解得P點的坐標為：x_P=，y_P=xx₁
所以△APB的重心G的坐標為x_G==x_P，
y_G==
∴y_P=-3y_G+4x_G²，結合x_P=x_G代入點P所在在直線方程，得到重心G的軌跡方程為：x-（-3y+4x²）-2=0，即y=（4x²-x+2）．
點評：本題求軌跡的方法稱為“代入法”，問題的基本結構是：動點N在已知曲線C上移動，動點M隨之移動（伴隨點），求動點M的軌跡方程．其求解可多參考本題分析中的一般解法．