Question

（2011•佛山一模）設n∈N⁺，圓C_n：x²+y²=R

2 n

（R_n＞0）與y軸正半軸的交點為M，與曲線y=

x

的交點為N（x_n，y_n），直線MN與x軸的交點為A（a_n，0）．
（1）用x_n表示R_n和a_n；
（2）若數列{x_n}滿足：x_n+1=4x_n+3，x₁=3．
①求常數P的值使數列{a_n+1-p•a_n}成等比數列；
②比較a_n與2•3ⁿ的大小．

Answer 1

分析：（1）根據y=

x

與圓C_n交于點N，可得Rn=

x 2 n +xn

，確定直線MN的方程，利用點N（x_n，y_n）在直線MN上，即可用x_n表示R_n和a_n；
（2）由x_n+1=4x_n+3得{x_n+1}是以4為首項，4為公比的等比數列，由此可求an=4n+2n，①利用數列{a_n+1-p•a_n}成等比數列，構建等式，即可求得結論；
②由①知：an=4n+2n，構建函數f（x）=（x+1）ⁿ-xⁿ（x＞0），證明函數是增函數，即可得到結論．

解答：解：（1）∵y=

x

與圓C_n交于點N，∴

R

2 n

=

x

2 n

+

y

2 n

=

x

2 n

+xn
∴Rn=

x 2 n +xn

，…（2分）
由題可知，點M的坐標為（0，R_n），從而直線MN的方程為

x

an

+

y

Rn

=1，…（3分）
由點N（x_n，y_n）在直線MN上得：

xn

an

+

yn

Rn

=1，…（4分）
將Rn=

x 2 n +xn

，yn=

xn

代入化簡得：an=1+xn+

1+xn

．…（6分）
（2）由x_n+1=4x_n+3得：1+x_n+1=4（x_n+1），…（7分）
又x₁=3，∴1+x₁=4，故{x_n+1}是以4為首項，4為公比的等比數列
∴x_n+1=4•4^n-1=4ⁿ，∴an=4n+2n       …（8分）
①a_n+1-p•a_n=4ⁿ⁺¹+2ⁿ⁺¹-p（4ⁿ+2ⁿ）=（4-p）•4ⁿ+（2-p）•2ⁿ，a_n+2-p•a_n+1=（16-4p）•4ⁿ+（4-2p）•2ⁿ
令a_n+2-p•a_n+1=q（a_n+1-p•a_n）得：（16-4p）•4ⁿ+（4-2p）•2ⁿ=q[（4-p）•4ⁿ+（2-p）•2ⁿ]…（9分）
∴

16-4p=q(4-p) 4-2p=q(2-p)

，∴

pq=8 p+q=6

，解得：

p=2 q=4

或

p=4 q=2

故當p=2時，數列{a_n+1-p•a_n}成公比為4的等比數列；當p=4時，數列{a_n+1-p•a_n}成公比為2的等比數列． …（11分）
②由①知：an=4n+2n，當n=1時，a1=41+21=3•2¹；
當n≥2時，an=4n+2n＞2•3n．…（12分）
事實上，令f（x）=（x+1）ⁿ-xⁿ（x＞0），則f′（x）=n[（x+1）^n-1-x^n-1]＞0，
故f（x）=（x+1）ⁿ-xⁿ（x＞0）是增函數，
∴f（3）＞f（2），即：4ⁿ-3ⁿ＞3ⁿ-2ⁿ，即an=4n+2n＞2•3n．…（14分）

點評：本題考查數列與函數的綜合，考查數列的通項，考查大小比較，確定數列的通項是關鍵，屬于中檔題．