Question

某廠在一個空間容積為2 000 m³的密封車間內生產某種化學藥品.開始生產后，每滿60分鐘會一次性釋放出有害氣體a m³，并迅速擴散到空氣中.每次釋放有害氣體后，車間內的凈化設備隨即自動工作20分鐘，將有害氣體的含量降至該車間內原有有害氣體含量的r%，然后停止工作，待下一次有害氣體釋放后再繼續工作.安全生產條例規定：只有當車間內的有害氣體總量不超過1.25a m³時才能正常進行生產.

(1)當r=20時，該車間能否連續正常生產6.5小時？請說明理由;

(2)能否找到一個大于20的數據r，使該車間能連續正常生產6.5小時？請說明理由.

Answer 1

解:（1）∵第一次釋放有害氣體a m³，

∴第二次釋放有害氣體后（凈化之前），車間內共有有害氣體(a+ar%) m³，第三次釋放有害氣體后（凈化之前），車間內共有有害氣體[a+(a+?ar%)r%] m³.

∵6.5小時共釋放6次有害氣體，且有害氣體的含量逐次遞增，

∴要使該車間能連續正常生產，在最后一次釋放有害氣體后（凈化之前），車間內有害氣體總量不得超過1.25a m³，

即必須要有a+ar%+a(r%)²+…+a(r%)⁵≤1.25a,

即a·≤1.25a.                                                   

∵當r=20時，＜==1.25,

∴當r=20時，該車間能連續生產6.5小時.                                       

（2）設r%=0.2+x(x＞0)滿足條件，即要有≤1.25,                     

即(0.2+x)⁶≥1.25·x.（*）

∵(0.2+x)⁶=0.2⁶+6(0.2)⁵x+…＞0.2⁶+6(0.2)⁵x，

要使（*）成立，只要0.2⁶+(0.2)⁵·6x-1.25x≥0即可，

∴可取x=＞0.

∴取r=20+100·就可使該車間連續生產6.5小時.