Question

某廠在一個空間容積為2000m³的密封車間內生產某種化學藥品．開始生產后，每滿60分鐘會一次性釋放出有害氣體am³，并迅速擴散到空氣中．每次釋放有害氣體后，車間內的凈化設備隨即自動工作20分鐘，將有害氣體的含量降至該車間內原有有害氣體含量的r%，然后停止工作，待下一次有害氣體釋放后再繼續工作．安全生產條例規定：只有當車間內的有害氣體總量不超過1.25am³時才能正常進行生產．
（Ⅰ）當r=20時，該車間能否連續正常生產6.5小時？請說明理由；
（Ⅱ）能否找到一個大于20的數據r，使該車間能連續正常生產6.5小時？請說明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ） 首先計算6.5小時共釋放出6次有害氣體，車間內有害氣體總量，根據有害氣體總量不超過1.25am³ ，可建立不等關系，進而可求解；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知 設r%=0.2+x（x＞0）滿足條件，即要有

1-(0.2+x)6

1-(0.2+x)

≤1.25，利用二項展開式可解．

解答：解：（Ⅰ）∵第一次釋放有害氣體am³，
∴第二次釋放有害氣體后（凈化之前），車間內共有有害氣體（a+ar%）m³，第三次釋放有害氣體后（凈化之前），車間內共有有害氣體[a+（a+ar%）r%]m³，…（2分）
∵6.5小時共釋放出6次有害氣體，且有害氣體的含量逐次遞增，
∴要使該車間能連續正常生產，在最后一次釋放有害氣體后（凈化之前），車間內有害氣體總量不得超過1.25am³，
即必須要有a+ar%+a（r%）²+…+a（r%）⁵≤1.25a，
即a•

1+(r%)6

1-r%

≤1.25a．…（4分）
∵當r=20時，

1-(0.2)6

1-0.2

＜

1

1-0.2

=

1

0.8

=1.25，
∴當r=20時，該車間能連續生產6.5小時．…（6分）
（Ⅱ）設r%=0.2+x（x＞0）滿足條件，即要有

1-(0.2+x)6

1-(0.2+x)

≤1.25，
即（0.2+x）⁶≥1.25•x．（*）…（8分）
∵（0.2+x）⁶=0.2⁶+6（0.2）⁵x+…＞0.2⁶+6（0.2）⁵x，
要使（*）成立，只要0.2⁶+（0.2）⁵•16x-1.25x≥0即可，…（10分）
∴可取x=

(0.2)6

1.25-6(0.2)5

＞0，
∴取r=20+100•

(0.2)6

1.25-6(0.2)5

，就可使該車間連續生產6.5小時．…（12分）

點評：本題的考點是函數模型的選擇與應用，主要考查等比數列模型，關鍵是理解題意，挖掘本質．