Question

已知在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為

x=4cosθ y=4sinθ

（θ為參數(shù)），直線l經(jīng)過定點(diǎn)P（2，3），傾斜角為

π

3

．
（1）寫出直線l的參數(shù)方程和圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）設(shè)直線l與圓相交于A，B兩點(diǎn)，求|PA|•|PB|的值．

Answer 1

分析：（1）把曲線C的參數(shù)方程利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系消去θ，化為普通方程為 x²+y²=16①，再依據(jù)條件求得直線l的參數(shù)方程．
（2）把直線的參數(shù)方程代人①得，t2+(2+3

3

)t-3=0 ③，可得t₁t₂=-3，再由|PA|•|PB|=|t₁||t₂|=|t₁t₂|，求得結(jié)果．

解答：解：（1）把曲線C的參數(shù)方程為

x=4cosθ y=4sinθ

（θ為參數(shù)），利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系消去θ，化為普通方程為 x²+y²=16①，
直線l的參數(shù)方程為

x=2+tcos π 3  =2+ 1 2 t y=3+tsin π 3  =3+ 3 2 t

 ，(t為參數(shù))  ②．
（2）把②代人①得，t2+(2+3

3

)t-3=0 ③，
設(shè)t₁，t₂是方程③的兩個實(shí)根，則t₁t₂=-3，所以|PA|•|PB|=|t₁||t₂|=|t₁t₂|=3．

點(diǎn)評：本題主要考查把參數(shù)方程化為普通方程的方法，求直線的參數(shù)方程，參數(shù)的幾何意義，屬于基礎(chǔ)題．