Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓C1： =1和C2：x2+ =1．P為C1上的動點，Q為C2上的動點，w是 的最大值．記Ω={（P，Q）|P在C1上，Q在C2上，且 =w}，則Ω中元素個數(shù)為（ ）
A.2個
B.4個
C.8個
D.無窮個

Answer 1

【答案】D
【解析】解：橢圓C1： =1和C2：x2+ =1．P為C1上的動點，Q為C2上的動點，

可設(shè)P（6cosα，2sinα），Q（cosβ，3sinβ），0≤α\β＜2π，

則 =6cosαcosβ+6sinαsinβ=6cos（α﹣β），

當(dāng)α﹣β=2kπ，k∈Z時，w取得最大值6，

則Ω={（P，Q）|P在C1上，Q在C2上，且 =w}中的元素有無窮多對．

另解：令P（m，n），Q（u，v），則m2+9n2=36，9u2+v2=9，

由柯西不等式（m2+9n2）（9u2+v2）=324≥（3mu+3nv）2，

當(dāng)且僅當(dāng)mv=nu，即O、P、Q共線時，取得最大值6，

顯然，滿足條件的P、Q有無窮多對，D項正確．

故選：D．

設(shè)出P（6cosα，2sinα），Q（cosβ，3sinβ），0≤α\β＜2π，由向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示和兩角差的余弦公式和余弦函數(shù)的值域，可得最大值及取得的條件，即可判斷所求元素的個數(shù)．