Question

對于任意實數a，要使函數在區間[a，a+3]上的值出現的次數不小于4次，又不多于8次，則k可以取

1. A.
   1和2
2. B.
   2和3
3. C.
   3和4
4. D.
   2

Answer 1

B
分析：根據函數一個周期有且只有2個不同的自變量使其函數值為，故出現的次數不小于4次，又不多于8次，得到該函數在此區間上至少2個周期，至多4個周期，由區間的長度為3，列出關于周期T的不等式組，再找出ω的值，代入周期公式求出函數的周期T，將求出的T代入不等式組得到關于k的不等式組，求出不等式組的解集中的正整數解即可得到k的值．
解答：函數在一個周期內有且只有2個不同的自變量使其函數值為，
因此該函數在區間[a，a+3]（該區間的長度為3）上至少有2個周期，至多有4個周期，
因此 3＞2T，且3＜4T，即，
又∵ω=，∴T=，
∴，
解得，又k∈N，
則k=2或3．
故選B
點評：本題考查三角函數的周期性及其求法，考查了轉化的數學思想．根據題意得出該函數在區間[a，a+3]（該區間的長度為3）上至少有2個周期，至多有4個周期是本題的突破點，將所求的k的值進行轉化與化歸，列出關于k的不等式是解決本題的關鍵，充分利用函數的周期性和區間長度的關系，注意不等式思想的運用．