Question

在下列命題中：
①若f（x）是定義在[-1，1]上的偶函數，且在[-1，0]上是增函數，θ∈（

π

4

，

π

2

），則f（sinθ）＞f（cosθ）；
②若銳角α、β滿足cosα＞sinβ，則α+β＜

π

2

；
③若f（x）=2cos²

x

2

-1，則f（x+π）=f（x）對x∈R恒成立；
④對于任意實數a，要使函數y=5cos（

2k+1

3

πx-

π

6

）（k∈N^*）在區間[a，a+3]上的值

5

4

出現的次數不小于4次，又不多于8次，則k可以取2和3．       
其中真命題的序號是

②④

．

Answer 1

分析：①由偶函數對稱區間上的單調性相反可知，函數在[0，1]上單調遞減，結合θ∈（

π

4

，

π

2

）時，可判斷sinθ與cosθ的大小，進而可比較
②由銳角α、β滿足cosα＞sinβ=cos（

π

2

-β），可判斷
③f（x）=2cos²

x

2

-1=cosx，函數的周期為T=2π，可判斷
④由于函數y=5cos（

2k+1

3

πx-

π

6

）在一個周期內函數值

5

4

出現兩次，若滿在區間[a，a+3]上的值

5

4

出現的次數不小于4次，又不多于8次，則用檢驗當k=2，3時函數的周期即可判斷

解答：解：①由偶函數對稱區間上的單調性相反可知，函數在[0，1]上單調遞減，又θ∈（

π

4

，

π

2

）時，1＞sinθ＞cosθ＞0，則f（sinθ）∠f（cosθ）；故①錯誤
②若銳角α、β滿足cosα＞sinβ=cos（

π

2

-β），則α＜

π

2

-β，則α+β＜

π

2

；②正確
③f（x）=2cos²

x

2

-1=cosx，函數的周期為T=2π，則f（x+π）=f（x）對x∈R恒成立；③錯誤
④由于函數y=5cos（

2k+1

3

πx-

π

6

）在一個周期內函數值

5

4

出現兩次，若滿在區間[a，a+3]上的值

5

4

出現的次數不小于4次，又不多于8次，則

3T 2 ≤3 7T 2 ≥3

當k=2時，周期T=

6

5

，則函數y=5cos（

2k+1

3

πx-

π

6

）在區間[a，a+3]內函數值

5

4

出現6次，滿足題意     
當k=3時，周期T=

6

7

，則函數y=5cos（

2k+1

3

πx-

π

6

）在區間[a，a+3]內函數值

5

4

出現最大出現8次，滿足題意；故④正確
故答案為：②④

點評：本題綜合考查了偶函數的對稱區間上的單調性的應用，三角函數的誘導公式的應用，函數的周期公式的應用及二倍角公式、余弦函數的性質等函數知識的綜合應用