Question

已知動點到點的距離與到直線的距離之比為定值，記的軌跡為．

（1）求的方程，并畫出的簡圖；
（2）點是圓上第一象限內的任意一點，過作圓的切線交軌跡于，兩點．
（i）證明：；
（ii）求的最大值．

Answer 1

（1），C的圖象是橢圓．
（2）（i） 。(ii)當過點時取最大值2

解析試題分析：（1）設，由題動點M滿足：         1分

其中：，
...2分
代入，化簡得：
C的圖象是橢圓，如圖所示．          4分
（2）（i）設，
則          5分
         6分
即                       7分
(ii)解法一、設切線為，由題與圓相切，得，
8分
再由，得         9分
          10分
由（i）知，所以
11分
又                      . 2分
，當時，取最大值2         13分
的最大值為2．          ...14分
解法二、
由（i）同理得，則
又
當過點時取最大值2
考點：本題主要考查橢圓的標準方程，橢圓的幾何性質，直線與圓、直線與橢圓的位置關系，弦長公式。
點評：中檔題，求橢圓的標準方程，主要運用了橢圓的幾何性質，a,b,c,e的關系。曲線關系問題，往往通過聯立方程組，得到一元二次方程，運用韋達定理。涉及弦長問題，一般要利用韋達定理，簡化解題過程。本題“幾何味”較濃，應認真分析幾何特征。