Question

【題目】設(shè)f（x）是定義在R上的函數(shù)，對(duì)任意實(shí)數(shù)m，n，都有f（m）f（n）=f（m+n），且當(dāng)x＜0時(shí)，0＜f（x）＜1．
（1）證明：①f（0）=1；②當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）＞1；③f（x）是R上的增函數(shù)；
（2）設(shè)a∈R，試解關(guān)于x的不等式f（x2﹣3ax+1）f（﹣3x+6a+1）≤1．

Answer 1

【答案】
（1）證明：①在f（m）f（n）=f（m+n）中，令m=n=0，

得f（0）f（0）=f（0+0）即f（0）=f（0）2，∴f（0）=0或1，

若f（0）=0，則當(dāng)x＞0時(shí)，有f（x）f（0）=f（x）=0與題設(shè)矛盾，

∴f（0）=1；

②當(dāng)x＞0時(shí)，﹣x＜0，由已知得0＜f（﹣x）＜1，

又f（0）=f[x+（﹣x）]=f（x）f（﹣x）=1，0＜f（﹣x）＜1，∴ ，

即x＞0時(shí)，f（x）＞1；

③任取x1＜x2，由①②及已知條件知x∈R時(shí)，f（x）＞0，

則 ，∵x2﹣x1＞0，∴f（x2﹣x1）＞1，又因?yàn)閒（x1）＞0，

∴f（x2）＞f（x1），

∴y=f（x）在定義域R上為增函數(shù)

（2）解：f（x2﹣3ax+1）f（﹣3x+6a+1）=f（x2﹣3ax+1﹣3x+6a+1）=f[x2﹣3（a+1）x+2（3a+1）]，

又f（0）=1，f（x）在R上單調(diào)遞增，

∴原不等式等價(jià)于x2﹣3（a+1）x+2（3a+1）≤0，

不等式可化為（x﹣2）[x﹣（3a+1）]≤0，

∴當(dāng)2＜3a+1，即 時(shí)，2≤x≤3a+1；

當(dāng)2=3a+1，即 時(shí)，x=2；

當(dāng)2＞3a+1，即 時(shí)，3a+1≤x≤2

【解析】（1）①利用賦值法，轉(zhuǎn)化求解即可．②判斷函數(shù)的范圍，通過f（0）=f[x+（﹣x）]轉(zhuǎn)化求解證明即可．③利用函數(shù)的單調(diào)性的定義證明即可．（2）利用已知條件化簡(jiǎn)表達(dá)式，利用函數(shù)的單調(diào)性，推出不等式，然后求解不等式的解集．