Question

（09年東城區期末文）（14分）

如圖,在直三棱柱中,,為中點.

(Ⅰ)求證:;

(Ⅱ)求證: ∥平面 ;

(Ⅲ)求二面角的大小.

Answer 1

解析：解法一: (Ⅰ)在直三棱柱中,底面,在底面上的射影為.

由可得.

所以.     ………………..4分

(Ⅱ)設與交于點則為中點.

在中, 連結,分別為的中點,

故為的中位線,

∥,又平面,平面,

∥平面.                                      ………………9分

(Ⅲ)過作于,連結.

由底面可得.

故為二面角的平面角.

在中,,

在Rt中,

二面角的大小為 .  ……………………………………14分

 

解法二 直三棱柱,底面三邊長,

兩兩垂直.

如圖以為坐標原點,建立空間直角坐標系,

則.

  (Ⅰ),

   ,故.                …………….4分

 (Ⅱ)同解法一 ……………………………………………………………..………..9分

(Ⅲ)平面的一個法向量為,

設平面的一個法向量為,

,,

由得

令,則.

則.

故＜＞=.

二面角的大小為.  ……………………………….14分