Question

【題目】已知F1 ， F2分別為橢圓C： + =1（a＞b＞0）的左、右兩個焦點，橢圓上點M（ ， ）到F1、F2兩點的距離之和等于4．
（1）求橢圓C的方程；
（2）已知過右焦點且垂直于x軸的直線與橢圓交于點N（點N在第一象限），E，F是橢圓C上的兩個動點，如果kEN+KFN=0，證明直線EF的斜率為定值，并求出這個定值．

Answer 1

【答案】
（1）解：依據橢圓的定義2a=4a=2，

∵ 在橢圓 上，

∴ ，把a=2代入可得b2=3．

∴橢圓方程

（2）解：由（1）得，c=1，則N（1， ），

設直線NE的方程為： ，

代入 ，得 ．

設E（xE，yE），F（xF，yF），

∵點 在橢圓上，

∴由韋達定理得： ．

∴ ．

又直線NF的斜率與NE的斜率互為相反數，

在上式中以﹣k代k，可得 ，

∴xF+xE= ， ．．

∴直線EF的斜率

= ，

即直線EF的斜率為定值，其值為

【解析】（1）由已知求得a，把已知的坐標代入橢圓方程得到關于a，b的關系式，把a代入求得b，則橢圓方程可求；（2）求出N的坐標，設出NE所在直線方程，與橢圓方程聯立求得E的坐標，同理求得F的坐標，代入兩點求斜率公式可得直線EF的斜率為定值．