Question

【題目】已知 為坐標原點， ， 是橢圓 上的點，且 ，設動點 滿足 ．
（Ⅰ）求動點 的軌跡 的方程；
（Ⅱ）若直線 與曲線 交于 兩點，求三角形 面積的最大值．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）設點 ， ， ，
則由 ，得 ，
即 ， ，因為點 在橢圓 上，
所以 ， ，
故

，
因為 ，
所以動點 的軌跡 的方程為 ．
（Ⅱ）將曲線 與直線 聯立： ，消 得： ，
∵直線 與曲線 交于 兩點，設 ， ，
∴ ，又∵ ，得 ，
， ，
∴ ，
∵點 到直線 的距離 ，
∴
，當 時等號成立，
∴三角形 面積的最大值為
【解析】(1)首先根據向量的坐標公式計算出x = x1 + 3 x 2 ， y = y1 + 3 y2的關系式，代入到橢圓的方程整理可得x2 + 3 y2的代數式再結合直線的斜率關系即可求出x1 x2 + 3 y1 y2 = 0，即可得到動點P的軌跡方程。(2)結合題意利用橢圓的定義即可求出c的值再聯立直線與橢圓的方程，消元由判別式以及韋達定理得到關于m的代數式，并把上式代入到弦長公式和三角形中利用二次函數的最值即可。