Question

【題目】已知幾何體A﹣BCED的三視圖如圖所示，其中俯視圖和側視圖都是腰長為4的等腰直角三角形，正視圖為直角梯形，已知幾何體A﹣BCED的體積為16．

（1）求實數a的值；
（2）將直角三角形△ABD繞斜邊AD旋轉一周，求該旋轉體的表面積．

Answer 1

【答案】
（1）解：由該幾何體的三視圖知AC⊥面BCED，且EC=BC=AC=4，BD=a，

體積V= =16，

解得a=2

（2）解：在RT△ABD中， ，BD=2，AD=6，

過B作AD的垂線BH，垂足為H，得 ，

該旋轉體由兩個同底的圓錐構成，圓錐底面半徑為 ，

所以圓錐底面周長為 ，兩個圓錐的母線長分別為 和2，

故該旋轉體的表面積為

【解析】（1）由該幾何體的三視圖知AC⊥面BCED，且EC=BC=AC=4，BD=a，利用幾何體A﹣BCED的體積為16，求實數a的值；（2）過B作AD的垂線BH，垂足為H，得 ，求出圓錐底面周長為 ，兩個圓錐的母線長分別為 和2，即可求該旋轉體的表面積．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解由三視圖求面積、體積的相關知識，掌握求體積的關鍵是求出底面積和高；求全面積的關鍵是求出各個側面的面積，以及對旋轉體（圓柱、圓錐、圓臺）的理解，了解常見的旋轉體有：圓柱、圓錐、圓臺、球．