Question

在平面直角坐標系中，已知曲線C上任意一點P到兩個定點F1(-

3

，0)和F2(

3

，0)的距離之和為4．
（1）求曲線C的方程；
（2）設過（0，-2）的直線l與曲線C交于A、B兩點，以線段AB為直徑作圓．試問：該圓能否經過坐標原點？若能，請寫出此時直線l的方程，并證明你的結論；若不是，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）利用橢圓的定義即可求出；
（2）先假設符合條件的直線l存在，一方面可利用

OA

•

OB

=0；另一方面把直線的方程與橢圓的方程聯立，在△＞0的條件下可利用根與系數的關系得到關系式，進而即可得出答案．

解答：解：（1）根據橢圓的定義，可知動點P的軌跡為橢圓，
其中a=2，c=

3

，則b=

a2-c2

=1．
所以動點P的軌跡方程為

x2

4

+y2=1．
（2）當直線l的斜率不存在時，不滿足題意．
當直線l的斜率存在時，設直線l的方程為y=kx-2，設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
若

OA

•

OB

=0，則x₁x₂+y₁y₂=0．
∵y₁=kx₁-2，y₂=kx₂-2，∴y1y2=k2x1•x2-2k(x1+x2)+4．
∴（1+k²）x₁x₂-2k（x₁+x₂）+4=0．…①
由方程組

x2 4 +y2=1 y=kx-2

得（1+4k²）x²-16kx+12=0．
∵△=16²k²-4×12×（1+4k²）＞0，∴k2＞

3

4

…②
則x1+x2=

16k

1+4k2

，x1•x2=

12

1+4k2

，代入①，得(1+k2)

12

1+4k2

-2k

16k

1+4k2

+4=0．即k²=4，解得k=2或k=-2，滿足②式．
因此存在直線l，其方程為y=2x-2或y=-2x-2．

點評：熟練掌握圓錐曲線的定義與性質、兩條垂直的充要條件、直線方程與圓錐曲線方程相交問題的處理方法是解題的關鍵．